Differenza tra numeri cardinali e numeri ordinali

Cardinale contro Ordinal 
 

Nella nostra vita quotidiana, l'uso dei numeri può assumere forme diverse in situazioni diverse. Ad esempio, quando contiamo di calcolare la dimensione di una raccolta di oggetti, li contiamo come uno, due, tre e così via. Quando vogliamo contare qualcosa per ottenere il senso della posizione degli oggetti, li contiamo come primo, secondo, terzo e così via. Nella prima forma di conteggio, i numeri sono detti numeri cardinali. Nella seconda forma di conteggio, i numeri sono considerati numeri ordinali. In questo contesto, i concetti cardinale e ordinale sono completamente una questione di linguistica; cardinale e ordinale sono aggettivi.

Tuttavia, l'estensione del concetto agli insiemi in matematica rivela una prospettiva molto più profonda e più ampia e non può essere trattata in termini semplici. In questo articolo, cercheremo di capire i concetti fondamentali dei numeri cardinali e ordinali in matematica.

Le definizioni formali dei numeri cardinali e ordinali sono fornite nella teoria degli insiemi. Le definizioni sono intricate e per capirle in senso stretto occorrono conoscenze di base nella teoria degli insiemi. Pertanto, ci rivolgeremo verso un paio di esempi, per comprendere i concetti euristicamente.

Considera i due set 1,3,6,4,5,2 e bus, auto, traghetto, treno, aereo, elicottero. Ogni set elenca un insieme di elementi, e se contiamo il numero di elementi è evidente che ognuno ha lo stesso numero di elementi, che è 6. Arrivando a questa conclusione abbiamo preso la dimensione di un set e confrontato con un altro usando un numero. Tale numero è chiamato numero cardinale. Pertanto, possiamo dire che un numero cardinale è un numero che possiamo usare per confrontare le dimensioni degli insiemi finiti.

Anche in questo caso la prima serie di numeri può essere organizzata in ordine crescente considerando la dimensione di ciascun elemento e confrontandoli. Nel processo di ordinazione, i numeri sono considerati come cardinali. Allo stesso modo, l'insieme di tutti gli interi non negativi può essere ordinato in un set; cioè 0,1,2,3,4, .... Ma in questo caso, la dimensione dell'insieme diventa infinita e non è possibile assegnarla in termini di ordinali. Non importa quanto grande sia il numero che scegli per dare la dimensione del set, tuttavia ci saranno dei numeri rimasti fuori dal set che sceglierai e che sono numeri interi non negativi.

Pertanto, i matematici definiscono questo infinito cardinale (che è il primo) come Aleph-0, scritto come א (prima lettera dell'alfabeto ebraico). Formalmente il numero ordinale è il tipo di ordine di un set ben ordinato. Pertanto, il numero ordinale degli insiemi finiti può essere dato dai numeri cardinali, ma per gli insiemi infiniti ordinale è dato da numeri transfiniti come Aleph-0.

Qual è la differenza tra i numeri cardinali e quelli ordinali?

• Il numero cardinale è un numero che può essere utilizzato per contare o per dare la dimensione di un insieme ordinato finito. Tutti i numeri cardinali sono ordinali.

• I numeri ordinali sono numeri usati per dare la dimensione di entrambi gli insiemi ordinati finiti e infiniti. La dimensione delle serie finite ordinate è data dai soliti numeri algebrici indù-arabi, e la dimensione infinita è data da numeri transfiniti.