Differenza tra Fourier Series e Fourier Transform

Fourier Series vs Fourier Transform

La serie di Fourier decompone una funzione periodica in una somma di seni e coseni con diverse frequenze e ampiezze. La serie di Fourier è una branca dell'analisi di Fourier ed è stata introdotta da Joseph Fourier. Trasformata di Fourier è un'operazione matematica che interrompe un segnale nelle sue frequenze costitutive. Il segnale originale che è cambiato nel tempo è chiamato la rappresentazione del dominio del tempo del segnale. La trasformata di Fourier è chiamata rappresentazione del dominio di frequenza di un segnale poiché dipende dalla frequenza. Sia la rappresentazione del dominio della frequenza di un segnale che il processo utilizzato per trasformare quel segnale nel dominio della frequenza sono indicati come trasformata di Fourier.

Che cos'è la serie di Fourier?

Come accennato in precedenza, la serie di Fourier è un'espansione di una funzione periodica che utilizza la somma infinita di seni e coseni. La serie di Fourier è stata inizialmente sviluppata quando si risolvono le equazioni del calore, ma in seguito si è scoperto che la stessa tecnica può essere utilizzata per risolvere un ampio insieme di problemi matematici, specialmente i problemi che coinvolgono equazioni differenziali lineari con coefficienti costanti. Ora, la serie di Fourier ha applicazioni in un gran numero di campi tra cui ingegneria elettrica, analisi delle vibrazioni, acustica, ottica, elaborazione dei segnali, elaborazione delle immagini, meccanica quantistica ed econometria. Le serie di Fourier usano le relazioni di ortogonalità delle funzioni seno e coseno. Il calcolo e lo studio della serie di Fourier è noto come analisi armonica ed è molto utile quando si lavora con funzioni periodiche arbitrarie, poiché consente di suddividere la funzione in termini semplici che possono essere utilizzati per ottenere una soluzione al problema originale.

Qual è la trasformata di Fourier?

La trasformata di Fourier definisce una relazione tra un segnale nel dominio del tempo e la sua rappresentazione nel dominio della frequenza. La trasformata di Fourier decompone una funzione in funzioni oscillatorie. Poiché questa è una trasformazione, è possibile ottenere il segnale originale conoscendo la trasformazione, quindi nessuna informazione viene creata o persa nel processo. Lo studio della serie di Fourier fornisce in realtà la motivazione per la trasformazione di Fourier. A causa delle proprietà di seni e coseni è possibile recuperare la quantità di ogni onda che contribuisce alla somma utilizzando un integrale. La trasformata di Fourier ha alcune proprietà di base come linearità, traduzione, modulazione, ridimensionamento, coniugazione, dualità e convoluzione. La trasformata di Fourier viene applicata nel risolvere equazioni differenziali poiché la trasformata di Fourier è strettamente correlata alla trasformazione di Laplace. La trasformata di Fourier è anche utilizzata nella risonanza magnetica nucleare (NMR) e in altri tipi di spettroscopia.

Differenza tra Fourier Series e Fourier Transform

La serie di Fourier è un'espansione del segnale periodico come una combinazione lineare di seni e coseni mentre la trasformata di Fourier è il processo o la funzione utilizzata per convertire i segnali dal dominio del tempo nel dominio della frequenza. La serie di Fourier è definita per i segnali periodici e la trasformata di Fourier può essere applicata a segnali aperiodici (che si verificano senza periodicità). Come accennato in precedenza, lo studio della serie di Fourier fornisce effettivamente la motivazione per la trasformata di Fourier.